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Bolão é 🍊 uma modalidade de aposta, inoficiosa na maioria dos casos, que pode ocorrer de duas formas - numa, vários apostadores se 🍊 juntam para adquirir uma série de cartões de apostas, aumentando assim a probabilidade de acertos, e com posterior divisão dos 🍊 prêmios;[1] e a variante popular, que é a de apostar no resultado de um evento futuro, em geral esportivo como 🍊 os gols de uma partida de futebol.
Bolão de apostas [ editar | editar código-fonte ]
Este tipo de "bolão" é bastante 🍊 difundido no Brasil, tendo sido incorporado informalmente pelas casas lotéricas como forma de vender mais bilhetes de concursos como a 🍊 Mega-Sena - neste último caso tornado bastante conhecido no início de 2010, quando um grupo de apostadores do Rio Grande 🍊 do Sul deixou de ganhar um prêmio recorde da loteria quando a funcionária do estabelecimento deixou de registrar os números 🍊 no sistema operado pela Caixa Econômica Federal, ensejando a abertura de inquérito policial[2] e uma declaração oficial da entidade financeira 🍊 negando apoio a este tipo de prática das lotéricas credenciadas.[3][4]
Bolão de prognóstico [ editar | editar código-fonte ]
Modalidade bastante difundida, 🍊 sobretudo nos países hispânicos, quando recebe o nome de polla (hispanificação da palavra inglesa poll - que pode ser traduzida 🍊 como apuração de votos)[5], chegando a ser institucionalizada em alguns lugares, como no Chile, em que os prognósticos são feitos 🍊 por uma empresa governamental.[6]
Neste caso, as apostas são recolhidas individualmente, e cada apostador indica qual o resultado em um evento 🍊 futuro, que podem ir do placar de uma partida desportiva ao número de votos de um candidato numa eleição.
Também ocorre 🍊 no caso de um campeonato, em que se aposta quais equipes passarão para uma fase seguinte.[7]
Este modelo de bolão é 🍊 muito utilizado no Brasil em especial na Copa do Mundo de Futebol da FIFA.
Diversos grupos de amigos, colegas de trabalho, 🍊 familiares se organizam para fazer os prognósticos dos resultados dos jogos da competição através de sites e aplicativos de celular.[8]
Em 🍊 teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados 🍊 nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência de 🍊 variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do 🍊 próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]
O 🍊 movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de 🍊 falência.
Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda 🍊 ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas 🍊 anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do próximo 🍊 evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do 🍊 presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do 🍊 jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.
Dobra-se 🍊 a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais comum 🍊 na roleta.
A popularidade deste sistema se deve à ganhar bônus de cadastro simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias 🍊 rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance 🍊 igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, 🍊 dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) 🍊 de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 🍊 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se ganharmos, 🍊 ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda 🍊 da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias 🍊 de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que 🍊 o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador dobrar 🍊 ganhar bônus de cadastro aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de 🍊 um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a 🍊 possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo 🍊 certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a 🍊 quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem 🍊 matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode 🍊 ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul 🍊 Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por 🍊 Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph 🍊 Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição básica 🍊 de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) 🍊 X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n 🍊 {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( X 🍊 n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots 🍊 ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]
Sequências 🍊 martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 🍊 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 🍊 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) < 🍊 ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X 🍊 n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação 🍊 ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t 🍊 {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( Y 🍊 t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle \mathbf 🍊 {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer 🍊 observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual 🍊 à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo estocástico 🍊 Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração 🍊 Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade 🍊 subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ 🍊 {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau 🍊 }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t 🍊 , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E P ( | Y t | ) < + ∞ ; 🍊 {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) = 🍊 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento 🍊 F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ s 🍊 ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ] É 🍊 importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os 🍊 valores esperados são assumidos). É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não em 🍊 relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo de 🍊 Itō é um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ] Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de 🍊 dimensões) é um exemplo de martingale. O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com 🍊 que ele se envolver forem honestos. Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, uma 🍊 bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração das 🍊 bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que 🍊 a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato 🍊 de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número 🍊 de bolas não vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi jogada 🍊 Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n 🍊 = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for 🍊 jogada. raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que a 🍊 moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} X n + 🍊 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -} Y n = ( q 🍊 / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } 🍊 {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [ Y 🍊 n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ] = p ( q / p ) X 🍊 n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / p 🍊 ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p ) 🍊 X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X n 🍊 = ( q / p ) X n = Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de razão de verossimilhança 🍊 em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ... , 🍊 X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ∏ i = 1 n g 🍊 ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g 🍊 {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n 🍊 : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divide em duas amebas 🍊 com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 🍊 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então { r X n : 🍊 n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} é um martingale em relação a { X 🍊 n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma série martingale criada por software. Em uma comunidade 🍊 ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número 🍊 de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como 🍊 uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se { N 🍊 t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N 🍊 t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ 🍊 editar | editar código-fonte ] Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação atual 🍊 X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 🍊 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à 🍊 expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo 🍊 das funções harmônicas. [15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ 🍊 : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq 🍊 t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} 🍊 , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle 🍊 W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também 🍊 é um martingale. Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , . . . 🍊 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n 🍊 ] ≥ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 🍊 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle 🍊 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 🍊 ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 🍊 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma análoga, um 🍊 supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n ] 🍊 ≤ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X 🍊 t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau 🍊 }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 🍊 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} 🍊 E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e supermartingales 🍊 [ editar | editar código-fonte ] Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto 🍊 um submartingale, como um supermartingale, é um martingale. Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e 🍊 perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com 🍊 probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 🍊 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela 🍊 desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o 🍊 que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada [ 🍊 editar | editar código-fonte ] Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 🍊 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que 🍊 para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} 🍊 depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} . A 🍊 intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até 🍊 o momento e dizer se é hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que um 🍊 apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode 🍊 deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base 🍊 no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16] Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas 🍊 que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t 🍊 + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},... } , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico 🍊 do processo até o tempo t {\displaystyle t} . Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo 🍊 acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados. Uma das 🍊 propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e 🍊 τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t 🍊 > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau 🍊 }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale. O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, 🍊 por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em 🍊 um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
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