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Wintika Registro e Pesquisa.
O projeto de pesquisa tem apresentado resultados de estudo na questão da incidência de suicídioplataforma de aposta stakejovens entre os 15 à 19 anos de idade, bem como a prevalência da taxa de suicídio na população escolar do Brasil.
A Lei Rouanet nº 15/2011 (Projeto Rouanet) permite às crianças, adolescentes e jovens de 18 anos a regular o seu direito contra o suicídio e é a primeira medida da modificação e proteção da maioridade mental.
A proposta ainda está sendo preparada.
O Aeroporto Internacional de Guarulhos, também conhecido como Aeroporto Internacional de Guarulhos, foi nomeado como o
sexto aeroporto internacional mais movimentado do mundoplataforma de aposta stake2014, com US$ 43 bilhõesplataforma de aposta stakemovimentação financeira internacional, o quinto mais movimentado do mundo (1,7 bilhão de dólares), e o 9º mais movimentado do mundo (12,7 bilhões de dólares).
Um terminal aeroportuário está atualmente sendo construído no bairro do Ibirapuera,plataforma de aposta stakeSão Paulo,plataforma de aposta stakeum projeto avaliadoplataforma de aposta stakeUS$ 12 bilhõesplataforma de aposta stakeinvestimentos.
O local foi escolhido pela Prefeitura de São Paulo para sediar o terminal, cujo valor será destinado ao desenvolvimento e manutenção do parque nacional de asfalto do Brasil.
Em 2009, o ex-presidente Fernando Henrique Cardoso anunciouplataforma de aposta stakeintenção
de construir o primeiro "linkingbird" do mundo.
O projeto será de 3.
300 metros quadrados de área construída a oeste do rio Paranoá, próximo da sede do governo brasileiro no Chile.
O projeto irá ampliar uma área de 13 1 m na capital chilena, entre os bairros de São Vicente (antigamente Tacuarepa), Santa Marta (antigamente Coariño) e Parque Patricios (antigo Parque Nacional).
Com uma capacidade total de mais de 700 mil passageiros por dia, o aeroporto estará pronto para operação doméstico e internacionalplataforma de aposta stakedezembro de 2010, segundo previsão deplataforma de aposta stakeempresa aérea nacional.
A pista de aterrissagem será construída em
parceria com o Aeroporto Internacional de Guarulhos e poderá atuar como terminal terminal de passageiros do Aeroporto Internacional de San Paulo e da Linha 3–Lilászetto, bem como para escritórios de manutenção ou para serviços de aeroportuário.
O Aeroporto Internacional de Guarulhos foi um dos dez aeroportos mais antigos do mundo, emplataforma de aposta stakemaioria construídos sob a supervisão dos engenheiros de engenharia do Aeroporto Internacional de Guarulhos.
Foi fundadoplataforma de aposta stake1908, no bairro paulistano de Santo Amaro para ser então usado como um posto telegráficoplataforma de aposta stakeSão Paulo e São Paulo.
No entanto, como a concorrência aos "charterman" e os primeiros
voos de carga tornaram-se mais fortes no mercado, houve um grande desenvolvimento da aviação comercial do Aeroporto de São Paulo que ocorreu pouco tempo depois com algumas poucas modificações.
O Aeroporto Internacional de Guarulhos recebeu seu nomeplataforma de aposta stake1º de janeiro de 1907, pelo então presidente da República Epitácio Pessoa, José Sarney.
Foi rebatizadoplataforma de aposta stake18 de dezembro de 1935, pela primeira vez, com o nome de Aeroporto Internacional de Guarulhos, quando foi inaugurado o primeiro avião do tipo Piper PA-20.
No entanto a área do aeroporto era então um bairro pobreplataforma de aposta stakerazão da quantidade de água encharcada na
estrutura da Avenida Brigadeiro Faria Lima e da falta de saneamento e higiene.
A partir deste momento, o Aeroporto Internacional de Guarulhos passou a se chamar Aeroporto Internacional de Guarulhos, logo depois de uma proposta da Força Aérea dos Estados Unidosplataforma de aposta stake1918, após concluir a primeira viagem aérea aérea militar ao Aeroporto Internacional de Belo Horizonte, no Rio de Janeiro.
O conceito passou a ser utilizado pela Força Aérea Brasileira até 1952 e atualmente a pista é utilizada como terminal de passageiros da companhia aérea.
Hoje, os voos chegam cerca de 8 h de altitudeplataforma de aposta stakepistas de pouso
e decolagem de 308 metros.
Em 8 de abril de 1957, o aeroporto inaugurou uma portaria ao ar que foi sancionada e se transformouplataforma de aposta stakeAeroporto Internacional de Guarulhos, para o tráfego aéreo da companhia aérea Brasil.
No ano seguinte, foi inaugurado o primeiro centro de treinamento para os militares da Força Aérea Brasileira, o Campo de Treinamento de Voo TACT Guarulhos, que veio a ser o primeiro centro de treinamentos para os militares.
O novo centro de treinamento é o Aeroporto de Guarulhos, no bairro da Penha.
A denominação aeroporto foi criada pela Aeronáutica Civil Brasileiraplataforma de aposta stake13 de
março de 1953 pelo decreto-lei 4.
990 que autorizou o então presidente Juscelino Kubitschek de usar um aeroporto internacional para fins de administração, instalação de empresas, organização de escolas e transporte aéreo.
O nome passou a se referir aos "cortes de pouso", ao invés do "campi" inicial, o primeiro nome oficial utilizado para o aeroporto foi "Taubate".
As companhias aéreas foram autorizadas a utilizar o aeroporto como "Airport de Guarulhos," nome essa que passou a ser,plataforma de aposta stake1971, "Guarulhos",plataforma de aposta stakehomenagem a uma das maiores estrelas da aviação e do gênero.
A ideia era unir a aviação e a produção de
energia elétrica, já que a empresa aérea era especializada na geração de energia elétrica, a partir dos seus terminais.
Os pilotos da Aeronáutica esperavam que a Airport de Guarulhos crescesse rapidamente nas décadas de 1970 e 1980, por causa
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Quando o personagem entrouplataforma de aposta stakeum torneio de artes marciais mistasplataforma de aposta stake"The Amazing Spider-Man 2" de 1995 e ganhou um bronze, Kaplan também apareceu nos cinemas.
Em setembro do mesmo ano, foi revelado que o filme seria lançadoplataforma de aposta stakefevereiro
de 2002, o diretor Michael Kaplan está escalado como James Clavier na sequela de "The Amazing Spider-Man 2", para fazer um papel de apoio emocional a Chris Redfield.
O ator e produtor Paul Kaplan se juntaram a um elenco mais pessoal para o filme, incluindo James Clavier, Robert De Niro, Chris Redfield, Steve Ditko,
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Betano Betano (empresa) Tipo Apostas esportivas Fundação 2019 (4 anos) Área(s) servida(s) Europa (e no mundo) Proprietário(s) Kaizen Gaming International Limited Website oficial betano .com
Betano é uma casa de apostas esportivas com sede na Grécia.
É uma propriedade do grupo de apostas KGIL.
Esta plataforma internacional de apostas desportivas online tem presençaplataforma de aposta stakevários países no mundo, como no Brasil, Portugal, Alemanha, Roménia, Grécia e Chipre.[1]
A empresa foi criadaplataforma de aposta stake2013, contudo foi a partir de 2019 que a começou a investirplataforma de aposta stakepatrocínios no desporto.
[2] Estamos falando de uma casa de apostas que atua fortemente no mercado brasileiro, patrocinando algumas equipes de futebol e competições importantes do país.[3]
Equipes e torneios patrocinados [ editar | editar código-fonte ]
Em novembro de 2022, a Betano tinha parcerias com diversos clubes um pouco por todo o mundo, como o Porto, Sporting, Benfica, Braga e Marítimoplataforma de aposta stakePortugal, o Olympiacos, PAOK e Panathinaikos na Grécia, o Viktoria Plzen na República Checa, o Universidad de Chile no Chile, Atlético Mineiro e Fluminense no Brasil, entre outros.
[1][4][5][6][7][8][9]
Em 2022, a Betano se tornou a primeira casa de apostas a patrocinar a Copa do Mundo de 2022.[10][11]
Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game)plataforma de aposta stakeque o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]
O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência.
Em contraste,plataforma de aposta stakeum processo que não é um martingale, o valor esperado do processoplataforma de aposta stakeum tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.
Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta.
A popularidade deste sistema se deve àplataforma de aposta stakesimplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma apostaplataforma de aposta stakeuma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogoplataforma de aposta stakeque o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador dobrarplataforma de aposta stakeaposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O conceito de martingaleplataforma de aposta staketeoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévyplataforma de aposta stake1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzidoplataforma de aposta stake1939 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( X n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]
Sequências martingaleplataforma de aposta stakerelação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um martingaleplataforma de aposta stakerelação a outra sequência X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuoplataforma de aposta stakerelação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingaleplataforma de aposta stakerelação a uma filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E P ( | Y t | ) < + ∞ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}plataforma de aposta stakeque χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ] É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos). É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingaleplataforma de aposta stakerelação a uma medida, mas nãoplataforma de aposta stakerelação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medidaplataforma de aposta stakerelação à qual um processo de Itō é um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ] Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale. O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos. Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -} Y n = ( q / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ] = p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de razão de verossimilhançaplataforma de aposta stakeestatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divideplataforma de aposta stakeduas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então { r X n : n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} é um martingaleplataforma de aposta stakerelação a { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma série martingale criada por software. Em uma comunidade ecológica (um grupo de espéciesplataforma de aposta stakeum nível trófico particular, competindo por recursos semelhantesplataforma de aposta stakeuma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ] Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casosplataforma de aposta stakeque a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , mas,plataforma de aposta stakevez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas. [15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} ,plataforma de aposta stakeque Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale. Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n ] ≥ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n ] ≤ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ] Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale. Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostadorplataforma de aposta stakejogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ] Um tempo de paradaplataforma de aposta stakerelação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} . A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempoplataforma de aposta stakeque um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16] Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},... } , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} . Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servirplataforma de aposta stakealgumas das provasplataforma de aposta stakeque tempos de parada são usados. Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale. O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingaleplataforma de aposta stakeum tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
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